MESURES SEMI - CLASSIQUES ET CROISEMENT DE MODES par Clotilde Fermanian - Kammerer & Patrick Gérard

Semi-classical measures and eigenvalue crossings). — Semiclassical study of multidimensional crystals leads naturally to the following question: how do semiclassical measures propagate through energy level crossings ? In this contribution, we discuss a simple 2 × 2 system which displays such a crossing. For that purpose, we introduce two-scaled semi-classical measures, which describe how the usual Wigner transforms are concentrating on trajectories passing through the crossing points. Then we derive explicit formulae for the branching of such measures. These formulae are generalizations of the so-called Landau-Zener formulae. Texte reçu le 6 avril 2001, accepté le 3 juillet 2001 Clotilde Fermanian-Kammerer, Université de Cergy-Pontoise, Mathématiques, 2 avenue Adolphe Chauvin, BP 222, 95302 Cergy-Pontoise Cedex (France) E-mail : [email protected] Patrick Gérard, Université Paris XI, Mathématiques, Bât. 425, 91405 Orsay (France) E-mail : [email protected] Classification mathématique par sujets (2000). — 35B27, 35L, 35Q40. Mots clefs. — Mesures semi-classiques (de Wigner), valeurs propres de multiplicité variable, formule de Landau-Zener, convergence à deux échelles. Le présent travail a été réalisé avec le support du réseau européen TMR « Asymptotic Methods in Kinetic Equations », contrat ERB FMRX CT97 057. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2002/123/$ 5.00 c © Société Mathématique de France 124 FERMANIAN-KAMMERER (C.) & GÉRARD (P.)